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　　　改编而来

 

3种背包的简单概念：

0-1背包  (ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。每种物品均只有一件

　　　　　　　　　　　　　第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。

　　　　　　　　　　　　  第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包   (MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，

　　　　　　　　　　　     每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题概念，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

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一、0-1背包：

有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

 

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

      计算顺序是：从右往左，自上而下：因为每个物品只能放一次，前面的体积小的会影响体积大的

      

（2）背包刚好装满    

      计算顺序是：从右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

      

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）

首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N

每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？

f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？

事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值

 代码如下：

for i=1..N   for v=V..0        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6

         

这个图表画得很好，借此来分析：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。（请在草稿纸上自己画一画）

 

这里以一道题目来具体看看：

 

题目：

 

代码在这里：

 

 

二、完全背包：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，

且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

如果将v的循环顺序从上面的0-1背包逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，刚好满足完全背包的定义可以将数组降维  

那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，

f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。

 

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

　　计算顺序是：从左往右，自上而下：  每个物品可以放多次，前面的会影响后面的

     

（2）背包刚好装满

　　计算顺序是：从左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

     

代码如下：

for i=1..N    for v=0..V        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

这里同样给大家一道题目：

题目：

代码：

（分析代码也是学习算法的一种途径，有时并不一定要看算法分析，结合题目反而更容易理解。）

一个简单有效的优化 

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。 

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三、多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，

且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

这里同样转换为01背包：

普通的转换对于数量较多时，则可能会超时

对于普通的。就是多了一个中间的循环，把j=0~bag[i]，表示把第i中背包从取0件枚举到取bag[i]件。

给出一个例题：

题目：

代码：

 

对于二进制办法

多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，

之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释  

       比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数  

       15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000 四个数字  

       如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成  7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

 

int n;  //输入有多少种物品int c;  //每种物品有多少件int v;  //每种物品的价值int s;  //每种物品的尺寸int count = 0; //分解后可得到多少种物品int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值int size[MAX];  //用来保存分解后物品体积scanf("%d", &n);    //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解while (n--)     //接下来输入n中这个物品{    scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //输入每种物品的数目和价值    for (int k=1; k<=c; k<<=1)   //<
     <右移 相当于乘二 { value[count]="k*v;" size[count++]="k*s;" c -="k;" } if (c>
       0)    {        value[count] = c*v;        size[count++] = c*s;    }}
     

 

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

 

证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.

（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。

（证毕！）

现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了  

杭电2191题解：

此为多重背包用01和完全背包：

1 #include
     
       2 #include
      
        3 int dp[102]; 4 int p[102],h[102],c[102]; 5 int n,m; 6 void comback(int v,int w)//经费，重量。完全背包； 7 { 8     for(int i=v; i<=n; i++) 9         if(dp[i]
       
        =v; i--)15         if(dp[i]
        
         =n) comback(p[i],h[i]);30             else31             {32                 for(j=1; j
        
       
      
     

只是用01背包，用二进制优化：

1 #include 
     
       2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5     int nCase,Limit,nKind,i,j,k,  v[111],w[111],c[111],dp[111]; 6     //v[]存价值，w[]存尺寸，c[]存件数 7     //在本题中，价值是米的重量，尺寸是米的价格 8     int count,Value[1111],size[1111]; 9     //count存储分解完后的物品总数10     //Value存储分解完后每件物品的价值11     //size存储分解完后每件物品的尺寸12     cin>>nCase;13     while(nCase--)14     {15         count=0;16         cin>>Limit>>nKind;17         for(i=0; i
      
       >w[i]>>v[i]>>c[i];20             //对该种类的c[i]件物品进行二进制分解21             for(j=1; j<=c[i]; j<<=1)22             {23                 //<
       <右移1位，相当于乘224 value[count]="j*v[i];25" size[count++]="j*w[i];26" c[i]-="j;27" }28 if(c[i]>
        0)29             {30                 Value[count]=c[i]*v[i];31                 size[count++]=c[i]*w[i];32             }33         }34         //经过上面对每一种物品的分解，35         //现在Value[]存的就是分解后的物品价值36         //size[]存的就是分解后的物品尺寸37         //count就相当于原来的n38         //下面就直接用01背包算法来解39         memset(dp,0,sizeof(dp));40         for(i=0; i
        
         =size[i]; j--)42                 if(dp[j]
        
       
      
     

未优化的

1 #include 
     
       2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5     int nCase,Limit,nKind,i,j,k,  v[111],w[111],c[111],dp[111]; 6     //v[]存价值，w[]存尺寸，c[]存件数 7     //在本题中，价值是米的重量，尺寸是米的价格 8     int count,Value[1111],size[1111]; 9     //count存储分解完后的物品总数10     //Value存储分解完后每件物品的价值11     //size存储分解完后每件物品的尺寸12     cin>>nCase;13     while(nCase--)14     {15         count=0;16         cin>>Limit>>nKind;17         for(i=0; i
      
       >w[i]>>v[i]>>c[i];20             //对该种类的c[i]件物品进行二进制分解21             for(j=1; j<=c[i]; j<<=1)22             {23                 //<
       <右移1位，相当于乘224 value[count]="j*v[i];25" size[count++]="j*w[i];26" c[i]-="j;27" }28 if(c[i]>
        0)29             {30                 Value[count]=c[i]*v[i];31                 size[count++]=c[i]*w[i];32             }33         }34         //经过上面对每一种物品的分解，35         //现在Value[]存的就是分解后的物品价值36         //size[]存的就是分解后的物品尺寸37         //count就相当于原来的n38         //下面就直接用01背包算法来解39         memset(dp,0,sizeof(dp));40         for(i=0; i
        
         =size[i]; j--)42                 if(dp[j]
        
       
      
     

因为限于个人的能力，我只能讲出个大概，请大家具体还是好好看看dd大牛的《背包九讲》。

暂时讲完后，随着以后更深入的了解，我会把资料继续完善，供大家一起学习探讨。